Integralberechnung – Geometrische Herleitungen

Inhaltsverzeichnis

Flächeninhalte

Volumen

Einleitung

Herzlich willkommen auf dieser Homepage, die dem Erlernen der Integralberechnung dient. Bei den Berechnungen geometrischer Formen wird jedes Mal gleich vorgegangen. Zuerst werden die Variablen berechnet, die für das Flächendifferential dA oder das Volumendifferential dV benötigt werden. Anschließend werden die Flächen- oder Volumeninhalte mit Hilfe der Integralberechnung bestimmt. Die Flächen- und Volumendifferentiale sowie alle weiteren Variablen sind in den Zeichnungen dargestellt. Der Vorgang ist jedes Mal derselbe.

Hinter dem Integralzeichen verbirgt sich auch ein Summenzeichen. Es zeigt, dass die Flächen- und Volumenelemente dA oder dV über die Gesamtfläche A beziehungsweise das Gesamtvolumen V aufsummiert werden.

Variablen wie a(x) oder r(x), die zur Berechnung des Flächen- oder Volumendifferentials benötigt werden, müssen häufig mit dem zweiten Strahlensatz bestimmt werden.

Bei diesem Berechnungsverfahren wird für die Flächen- und Volumenberechnung jeweils nur eine Variable x verwendet, damit das Verfahren möglichst einfach zu erlernen ist.

Viel Spaß beim Lernen!

Wie das Integral Flächen und Volumen aufsummiert

Zeichnung eines Flächenelements dA in einem Streifen unter einer schrägen Begrenzung

Räumliche Zeichnung eines Volumenelements dV und der zugehörigen Scheibe

Volumendifferenz

Betrachtet man ein Volumenelement dV eines Körpers, ergibt sich folgender Zusammenhang:

\int_{1}^{2} dV = V_{2} - V_{1} = ΔV = dV

dV ist das zu integrierende Volumenelement.